Skip to content

Аппроксимация дифференциальных уравнений

В основе методов численного решения дифференциальных уравнений, лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную задачу, называемое аппроксимацией. Простыми словами: чтобы решить дифференциальные уравнения нужно знать аппроксимацию дифференциальных уравнений.

Но перед тем, как мы приступим к рассмотрению дифференциального уравнения, сначала разберем аппроксимацию дифференциальных операторов, то есть производных первого и второго порядков.

Аппроксимация дифференциальных операторов

Рассмотрим производную функции u(x) в точке xj:

\frac{du}{dx}\mid xj

Аппроксимация этой производной может быть введена с помощью следующих разностных операторов:

  • с помощью правой конечной разности
  • \lambda_{x}^+ u=\frac{u_{j+1}-u_{j}}{h}

  • с помощью левой конечной разности
  • \lambda_{x}^- u=\frac{u_{j}-u_{j-1}}{h}

  • с помощью центральной конечной разности
  • \lambda_{x}^0 u=\frac{u_{j+1}-u_{j-1}}{2h}

У каждой из этих разностей есть так называемый порядок аппроксимации.

Аппроксимация — это, по сути, приближение к реальному результату. Порядок же аппроксимации показывает порядок ошибки при этом приближении. Вот вам пример:
реальный ответ в задачи : 5
аппроксимация первого порядка показала ответ : 5.8
аппроксимация второго порядка показала ответ : 5.08

Исходя из этого, мы можем сделать совершенно простой вывод, что чем больше порядок аппроксимации, тем лучше сама аппроксимация той задачи, которая решается.

Возвращаясь к нашим разностям, отметим что левая и правая конечные разности имеют 1 порядок аппроксимации, а центральная конечная разность имеет 2 порядок аппроксимации. Значит центральная разность считает точнее, но не всегда удается использовать именно эту конечную разность, но об этом мы поговорим в следующих статьях.

Далее нам следует рассмотреть конечную разность для производной второго порядка:

\frac{d^2u}{dx^2}\mid xj

она запишется следующим образом :

\frac{u_{j+1}-2u_{j}+u_{j-1}}{h^2}

Пока вам все это может показаться непонятным и не самым интересным, но со временем вы это действительно поймете и будете экспертом в этой области.

Аппроксимация дифференциальных уравнений

Ну а теперь нам пора перейти к более сложному, но в тоже время важному занятию.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа:(если вы забыли, что это, то советую повторить это вот здесь)

\frac{\partial u}{\partial t}\ =  \sigma\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + f(u,t,x)

В левой части стоит первая производная по времени, и ее можно аппроксимировать левой, правой или центральной конечной разностью, для примера мы возьмем левую.

В правой части стоит вторая производная по координате x, ее аппроксимируем разностью, которую рассматривали для производной второго порядка.

Свободный член так и останется.

В итоге после аппроксимации уравнение станет выглядеть вот так:

\frac{u_{j}-u_{j-1}}{h} = \frac{u_{j+1}-2u_{j}+u_{j-1}}{h^2} + f(u,t,x)

Это выражение называется разностной схемой. По правде говоря, это еще не полная разностная схема, но пока что вам нужно понять основы аппроксимации и выучить понятие порядка аппроксимации.

Для этой статьи, пожалуй, хватит. В следующих статьях мы подробнее изучим разностные схемы, а затем будем их программировать на языках C++ и VBA.

Всего доброго!

Опубликовано вДифференциальные уравнения

Будьте первым, кто оставит комментарий

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *