Skip to content

Начальные и граничные условия

Здравствуйте, продолжаем нашу рубрику по дифференциальным уравнениям, это уже 2 статья, если вы хотите начать сначала и ознакомиться с видами дифференциальных уравнений, то вам в первую статью.

Введение

Итак, для использования численных методов при решении дифференциального уравнения необходимо дополнительные условия. Если искомая функция(концентрация, температура и т.д) является функцией времени u=u(t), то требуются начальные условия, которые являются значением этой функции в момент времени, принятый за начальный:

u(t=0)=u^0

Если начальная функция также зависит и от пространственных координат u=u(t,x), то начальное условие характеризуют ее распределение в пространстве в начальный момент времени:

u(t=0, x)=u^0(x)

В последнем случае помимо начальных условий требуются еще и граничные условия, которые имеют значения функции u(t,x) на границе изучаемой системы для любого момента времени. Причем, если искомая функция зависит от нескольких пространственных координат, то необходимо задавать граничные условия по каждой из них.

Небольшой пример

Например для следующего уравнения:

\frac{\partial u}{\partial t}\ + a_{x}\frac{\partial u}{\partial x}\ + a_{y}\frac{\partial u}{\partial y}\ =  \sigma_{x}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\  + \sigma_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ + f(t,x,y,z,u)

требуются:

  • начальное условие
  • 2 граничных условия по координате x
  • 1 граничное условие по координате y
  • 2 граничных условия по координате z

Сразу же возникает вопрос, почему именно так? Так вот, порядок производной определяет количество граничных условий для переменной. Как вы заметили, по y присутствует только первая производная, поэтому и одно граничное условие.

Классификация граничных условий

Для лучшего понимания рассмотрим классификацию на примере уравнения:

u=u(t,x)

x будет изменятся от 0 до l, соответственно при x=0, будет левая граница, а при x=l, будет правая.

  • Граничные условия 1-ого рода
  • Записываются следующим образом:

    u(t,x=0)=\varphi_{1}(t) — левое
    u(t,x=l)=\varphi_{2}(t) — правое

    \varphi_{1}, \varphi_{2} — функции, зависящие от t, как пример:

    u(t,x=0) = 3t
    u(t,x=1) = t^2

  • Граничные условия 2-ого рода
  • \frac{\partial u}{\partial x}\ (t,x=0) = \varphi_{1}(t)
    \frac{\partial u}{\partial x}\ (t,x=l) = \varphi_{2}(t)

    Здесь вместо самих функций используются их первые производные.

  • Граничные условия 3-ого рода
  • \frac{\partial u}{\partial x}\ (t,x=0) = \varphi_{1}(t)u(t,x=0)+\psi_{1}(t)
    \frac{\partial u}{\partial x}\ (t,x=l) = \varphi_{2}(t)u(t,x=l)+\psi_{2}(t)

  • Смешанные граничные условия
  • В этом случае левое и правое граничные условия могут быть разных родов:

    u(t,x=0)=\varphi_{1}(t)
    \frac{\partial u}{\partial x}\ (t,x=l) = \varphi_{2}(t)

Заключение

На этом мы подходим к концу нашей статьи. Сегодня мы с вами изучили начальные и граничные условия в дифференциальных уравнениях. Если вам что то осталось непонятным, то это нормально, не пугайтесь. В будущих статьях мы будем еще подробнее разбираться с этими и другими тонкостями, ну а на сегодня это все.

Спасибо, что прочитали статью, если у вас остались вопросы, то задавайте их в комментариях.
И, буду вам очень признателен, если вы вступите в нашу группу вконтакте, ссылка на которую размещена слева вверху под названием сайта.

Опубликовано вДифференциальные уравнения

Будьте первым, кто оставит комментарий

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *