Skip to content

Классификация и виды дифференциальных уравнений

Уважаемые читатели, начинаем с основных вещей, для начала рассмотрим виды дифференциальных уравнений, их достаточно много, и конечно, необходимо это знать для применения того или иного метода решения.

Для того, чтобы правильно выбрать метод численного решения дифференциального уравнения, сначала необходимо определить, к какому виду оно относится. Принадлежность дифференциального уравнения к тому или иному виду обычно определяют по двум критериям: наибольшему порядку производной и количеству независимых переменных.

Виды дифференциальных уравнений

Мы составили таблицу для вашего понимания:

vidy

При составлении были использованы обозначения, которые также будут применяться и в следующих статьях: u — искомая функция(концентрация, температура и т.д), t — время(независимая переменная), x, y, z — пространственные координаты.

Если функция U зависит от одной пространственной координаты, то соответствующее дифференциальное уравнение называют одномерным, если от двух — двумерным, если от трех — трехмерным.

Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка

В начале нашего курса, мы подробно разберем именно этот вид дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать единые методы для численного решения каждого из подтипов этих уравнений.

Общий вид этих уравнений:

a_{11}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + a_{12}\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\ + a_{22}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = f(x,y,u,u^\prime_{x},u^\prime_{y})

В зависимости от знака величины:

D=a^2_{12} - a_{11}a_{22}

подразделяются следующие виды дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка:

  • D > 0 гиперболический тип
  • D < 0 эллиптический тип
  • D = 0 параболический тип

Также существует некоторые правила для определения типа дифференциального уравнения:

  1. Если в уравнении присутствуют производные 2-го порядка по всем независимым переменным и знаки перед ними одинаковые – то данное уравнение относят к уравнениям эллиптического типа:
  2. a_{x}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + a_{y}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ + a_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ = f(x,y,z,u,u^\prime_{x},u^\prime_{y},u^\prime_{z})

  3. Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из независимых переменных – то данное уравнение относят к уравнениям параболического типа:
  4. \frac{\partial u}{\partial t}\ =  a_{x}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + a_{y}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ + a_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ + f(t,x,y,z,u,u^\prime_{x},u^\prime_{y},u^\prime_{z})

    Как вы заметили, отсутствует вторая производная по независимой переменной t.

Примеры

Рассмотрим примеры задач на определение типа дифференциального уравнения в частных производных 2-го порядка:

  • 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = 0
  • Ответ: Пользуясь правилом номер 1, чуть выше, делаем вывод, что уравнение эллиптического типа.

  • 4\frac{\partial u}{\partial t}\ + 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ = 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\
  • Ответ: Пользуясь правилом номер 2, чуть выше, делаем вывод, что уравнение параболического типа.

  • 4\frac{\partial u}{\partial t}\ - 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ = -2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\
  • Ответ: Пользуясь правилом номер 2, чуть выше, делаем вывод, что уравнение параболического типа. От знака перед производными тип будет зависеть, только тогда, когда есть все вторые производные.

  • 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + 0\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = 10
  • Ответ: В этом случае будет отсутствовать 2 производная по y, а значит уравнение параболического типа.

  • 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ - 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = 0
  • Ответ: В данном уравнении присутствуют все производные второго порядка, а вот знаки разные, значит будем вычислять через D.

    Напомню, что:

    D=a^2_{12} - a_{11}a_{22}

    a_{12} = 0 (так как нет смешанной производной)

    a_{11}a_{22} = -10 (произведение 2 на -5)

    D = 0 - (-10) = 10

    При D > 0, получается уравнение гиперболического типа.

На дом

Вот вам некоторые примеры для самопроверки, нужно всего лишь определить тип, жду от вас ответов в комментариях:

  • 3\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ + 5\frac{\partial u}{\partial x}\ = 6
  • 2\frac{\partial u}{\partial t}\ - 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ = 11
  • 0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = 1
  • 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ - 2\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\ + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = 0
  • 17\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ + 5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ = -6\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\

На этом сегодня все, если вам понравился урок, то пожалуйста расскажите о нем друзьям с помощью социальных кнопок ниже.

Опубликовано вДифференциальные уравнения

Будьте первым, кто оставит комментарий

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *