Skip to content

Решение нелинейных уравнений в Matlab

Доброго времени суток. В этой статье мы разберем решение простых нелинейных уравнений с помощью средств Matlab. Посмотрим в действии как стандартные функции, так и сами запрограммируем три распространенных метода для решения нелинейных уравнений.

Общая информация

Уравнения, которые содержат переменные, находящиеся в степенях, отличающихся от единицы, или имеющие нелинейные математические выражения (корень, экспонента, логарифм, синус, косинус и т.д.), а также имеющие вид f(x) = 0 называются нелинейными. В зависимости от сложности такого уравнения применяют методы для решения нелинейных уравнений.

В этой статье, помимо стандартных функций Matlab, мы рассмотрим следующие методы:

  • Метод перебора
  • Метод простых итераций
  • Метод половинного деления

Рассмотрим коротко их алгоритмы и применим для решения конкретной задачи.

Стандартные функции Matlab

Для решения нелинейных уравнений в Matlab есть функция fzero, которая принимает в качестве аргументов саму функцию, которую решаем, и отрезок, на котором происходит поиск корней нелинейного уравнения.

И сразу же разберем пример:

Решить нелинейное уравнение x = exp(-x), предварительно определив интервалы, на которых существуют решения уравнения.

Итак, для начала следует привести уравнение к нужному виду: x - exp(-x) = 0, а затем определить интервалы, в которых будем искать решение уравнения. Методов для определения интервалов множество, но так как пример достаточно прост мы воспользуемся графическим методом.

x = -4.0 : 0.001 : 4.0;
y = x - exp(-x);
plot(x,y); grid on;

Здесь задали примерные границы по оси x, чтобы можно было построить график и посмотреть как ведет себя функция. Вот график:

Из графика видно, что на отрезке [0;1] есть корень уравнения (там, где y = 0), соответственно в дальнейшем будем использовать этот интервал. Чем точнее выбран интервал, тем быстрее метод придет к решению уравнения, а для сложных уравнений правильный выбор интервала определяет погрешность, с которой будет получен ответ.

x0 = fzero('(x - exp(-x))', [0.0 1.0]);
x0 =
    0.5671

С помощью стандартной функции Matlab находим корень нелинейного уравнения и выводим. Теперь для проверки отобразим все это графически:

plot(x,y); grid on; hold on; plot(x0,0,'r*');

Как вы видите, все достаточно точно просчиталось. Теперь мы исследуем эту же функцию с помощью других методов и сравним полученные результаты.

Метод перебора Matlab

Самый простой метод, который заключается в том, что сначала задается какое то приближение x (желательно слева от предполагаемого корня) и значение шага h. Затем, пока выполняется условие f(x) * f(x + h) > 0, значение x увеличивается на значение шага x = x + h. Как только условие перестало выполняться — это значит, что решение нелинейного уравнения находится на интервале [x; x + h].

Теперь реализуем метод перебора в Matlab:

f = inline('x - exp(-x)');
h = 0.0001; % задаем шаг 
x = 0.0; % начальное приближение 
i = 0; % счетчик итераций 
while (f(x)*f(x+h)) > 0
    x = x + h;
    i = i + 1;
end
x % выводим решение 
i % и затраченное количество итераций 

Лучше всего создать новый m-файл, в котором и прописать код. После вызова получаем такой вывод:

x =
    0.5671

i =
    5671

Функцию объявляем с помощью очень полезной команды inline, в цикле пока выполняется условие отсутствия корней (или их четного количества), прибавляем к x значение шага. Очевидно, что чем точнее начальное приближение, тем меньше итераций необходимо затратить.

Метод простых итераций Matlab

Этот метод заключается в том, что функцию преобразуют к виду: x = g(x). Эти преобразования можно сделать разными способами, в зависимости от вида начальной функции. Помимо этого следует задать интервал, в котором и будет производиться итерационный процесс, а также начальное приближение. Сам процесс строится по схеме xn= g(xn-1). То есть итерационно проходим от предыдущего значения к последующему.

Процесс заканчивается как только выполнится условие: |x_{n} - x_{n-1}| \leq\varepsilon, то есть, как только будет достигнута заданная точность. И сразу же разберем реализацию метода простых итераций в Matlab для примера, который был приведен выше.

f = inline('x - exp(-x)');
x0 = 0.0; % начальное приближение 
eps = 0.00001; % точность
N = 100; % количество итераций, чтобы не было зацикливаний 
g = inline('exp(-x)');
x1 = g(x0); % первое значение 
for i = 1 : N % делаем максимум 100 итераций
    if abs(x1 - x0) <= eps
        break
    end
    x0 = x1;
    x1 = g(x0);
end
x1
i

Здесь должно быть все понятно, кроме одного: зачем задавать число итераций? Это нужно для того, чтобы программа не зацикливалась и не выполняла ненужные итерации, а также потому что не всегда программа может просчитать решение с нужной точностью — поэтому следует ограничивать число итераций.

А вот и вывод программы:

x1 =
    0.5671

i =
    22

Очевидно, что метод простых итераций работает гораздо быстрее и получает точное решение.

Метод половинного деления Matlab

Метод достаточно прост: существует отрезок поиска решения [a;b], сначала находят значение функции в точке середины c, где c = (a+b)/2. Затем сравнивают знаки f(a) и f(c). Если знаки разные — то решение находится на отрезке [a;c], если нет — то решение находится на отрезке [c;b]. Таким образом мы сократили область в 2 раза. Такое сокращение происходит и дальше, пока не достигнем заданной точности.

Перейдем к реализации метода в Matlab:

f = inline('x - exp(-x)');
eps = 0.00001;
a = 0.0;
b = 1.0;
i = 0;
while abs(a - b) > eps
   c = (a + b) / 2; 
   if ((f(c) * f(a)) < 0) 
       b = c; 
   else
       a = c;
   end
   i = i + 1;
end
c
i

Все самое важное происходит в цикле: последовательно сокращаем область нахождения решения, пока не будет достигнута заданная точность.
Вот что получилось в выводе:

c =
    0.5671

i =
    17

Этот метод хорошо работает, когда правильно определен интервал, где находится решение. Тем не менее, метод простых итераций считается наиболее точным и быстрым.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели решение нелинейных уравнений в Matlab. Теперь нам известны методы перебора, половинного деления, простых итераций. А также, когда нам не важно реализация метода, то можно использовать стандартную функцию в Matlab.

На этом все — спасибо за внимание.

Опубликовано вMatlab

Будьте первым, кто оставит комментарий

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *