Классификация и виды дифференциальных уравнений

Уважаемые читатели, начинаем с основных вещей, для начала рассмотрим виды дифференциальных уравнений, их достаточно много, и конечно, необходимо это знать для применения того или иного метода решения.

Для того, чтобы правильно выбрать метод численного решения дифференциального уравнения, сначала необходимо определить, к какому виду оно относится. Принадлежность дифференциального уравнения к тому или иному виду обычно определяют по двум критериям: наибольшему порядку производной и количеству независимых переменных.

Виды дифференциальных уравнений

Мы составили таблицу для вашего понимания:

При составлении были использованы обозначения, которые также будут применяться и в следующих статьях: u — искомая функция(концентрация, температура и т.д), t — время(независимая переменная), x, y, z — пространственные координаты.

Если функция U зависит от одной пространственной координаты, то соответствующее дифференциальное уравнение называют одномерным, если от двух — двумерным, если от трех — трехмерным.

Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка

В начале нашего курса, мы подробно разберем именно этот вид дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать единые методы для численного решения каждого из подтипов этих уравнений.

Общий вид этих уравнений:

$a_{11}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + a_{12}\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\ + a_{22}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = f(x,y,u,u^\prime_{x},u^\prime_{y})$

В зависимости от знака величины:

$D=a^2_{12} - a_{11}a_{22}$

подразделяются следующие виды дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка:

D > 0 гиперболический тип
D < 0 эллиптический тип
D = 0 параболический тип

Также существует некоторые правила для определения типа дифференциального уравнения:

Если в уравнении присутствуют производные 2-го порядка по всем независимым переменным и знаки перед ними одинаковые – то данное уравнение относят к уравнениям эллиптического типа:
$a_{x}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + a_{y}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ + a_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ = f(x,y,z,u,u^\prime_{x},u^\prime_{y},u^\prime_{z})$
Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из независимых переменных – то данное уравнение относят к уравнениям параболического типа:
$\frac{\partial u}{\partial t}\ = a_{x}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + a_{y}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ + a_{z}\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\ + f(t,x,y,z,u,u^\prime_{x},u^\prime_{y},u^\prime_{z})$

Как вы заметили, отсутствует вторая производная по независимой переменной t.

Примеры

Рассмотрим примеры задач на определение типа дифференциального уравнения в частных производных 2-го порядка:

$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ = 0$

Ответ: Пользуясь правилом номер 1, чуть выше, делаем вывод, что уравнение эллиптического типа.

$4\frac{\partial u}{\partial t}\ + 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ = 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\$

Ответ: Пользуясь правилом номер 2, чуть выше, делаем вывод, что уравнение параболического типа.

$4\frac{\partial u}{\partial t}\ - 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\ = -2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\$

Ответ: Пользуясь правилом номер 2, чуть выше, делаем вывод, что уравнение параболического типа. От знака перед производными тип будет зависеть, только тогда, когда есть все вторые производные.